Kl. 10: Von der Gleichung zum Gleichungssystem

Wir gehen noch einmal kurz darauf ein, wie man aus einer Sachaufgabe mit einer Unbekannten eine Gleichung formuliert. Anschließend werden wir das auf Aufgaben mit zwei Unbekannten übertragen und sehen, dass ein Gleichungssystem entsteht.

Dazu zunächst zwei Beispiele mit ausführlichem Lösungsweg.

Beispiel 1 (Zahlenrätsel): Wenn man das Vierfache einer Zahl um 16 verringert, erhält man fünf. Um welche Zahl handelt es sich?

Lösung:

• Führe eine Variable für die Unbekannte ein:
  x … gesuchte Zahl
• Stelle eine Gleichung auf:
  4x – 16 = 5
• Löse die Gleichung:
  4x – 16 = 5        | + 16
  4x           = 21      | : 4
     x           = 5,25
• Formuliere einen Antwortsatz:
  Die gesuchte Zahl ist 5,25.

Beispiel 2 (Preis): Der Gesamtpreis für eine Taxifahrt setzt sich aus einem Streckenpreis (für die gefahrenen km) und einem Grundpreis zusammen. Den Grundpreis muss man immer bezahlen, egal, wie weit man fährt. Der Streckenpreis ergibt sich, indem man die Anzahl der gefahrenen Kilometer mit einem km-Preis multipliziert.

Also zum Beispiel: 8 km lange Fahrt, km-Preis 1,50 €, Grundpreis 3,00 €. Dann beträgt der Gesamtpreis: 8*1,50 € + 3,00 € = 12,00 € + 3,00 € = 15,00 €

Aufgabe: Ein Taxiunternehmen verlangt für seine Fahrten einen Grundpreis von 3,50 €. Wie hoch ist der km-Preis, wenn eine 14 km lange Fahrt 21,70 € kostet.

Lösung:

• Führe eine Variable für die Unbekannte ein (hier ist auch die Einheit € wichtig):
  x … km-Preis in €:
• Stelle eine Gleichung auf (Einheiten können weggelassen werden):
  14x + 3,50 = 21,70
• Löse die Gleichung:
  14x + 3,50 = 21,70      | –3,50
  14x                = 18,20      | : 14
       x                = 1,30
• Formuliere einen Antwortsatz:
  Der km-Preis beträgt 1,30 €.

Beispiele, die auf Gleichungssysteme führen

Nun folgen zwei Beispiele, die ähnlich sind, aber auf Gleichungssysteme führen. Du wirst aber sehen, dass wir teilweise ganz ähnliche Methoden für die Lösung verwenden wie eben. Beim Lösen des Gleichungssystems werden wir alles ganz ausführlich anschauen.

Beispiel 3 (Zahlenrätsel): Gesucht sind zwei Zahlen. Vermehrt man das Dreifache der ersten Zahl um das Siebenfache der zweiten Zahl, so erhält man 29. Vermindert man die erste Zahl um das Doppelte der zweiten Zahl, so erhält man 1. Um welche beiden Zahlen handelt es sich?

Lösung:

• Führe Variablen für die Unbekannten ein:
  x … erste gesuchte Zahl     y … zweite gesuchte Zahl
   
• Stelle Gleichungen aus den Informationen im Text auf:
  
  I  3x + 7y = 29
  II    x – 2y = 1
  
  Es entsteht ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.
  Wie Du siehst, werden die Gleichungen nummeriert. Das machen wir gern mit römischen Zahlen I, II usw.
   
• Löse das Gleichungssystem:
  Ein Gleichungssystem zu lösen ist meist schwieriger als eine Gleichung mit nur einer Unbekannten. Es gibt dafür verschiedene Verfahren. Eine ganze wichtige Strategie zum Lösen ist, dass man zunächst versucht, aus dem Gleichungssystem nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten zu machen. Warum? Na, ganz einfach: solche Gleichungen können wir ja schon lösen.
  
  Idee: Die Gleichung II kann man relativ einfach nach x umstellen:
  II    x – 2y = 1              | + 2y
         x           = 1 + 2y
  
  Wenn nun der Term „1 + 2y“ dasselbe ist wie die Variable x, dann können wir einfach in der Gleichung I die Variable x durch genau diesen Term ersetzen, also anstelle von x einsetzen:
  
  I   3(1+2y) + 7y = 29
  
  Spitze! Schon haben wir nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten.
  Ganz wichtig ist hier natürlich, dass man die Klammern mit aufschreibt, da sonst die Regel „Punktrechnung vor Strichrechnung“ greifen würde und die 3 würde nicht mit dem ganzen Term für x multipliziert, sondern nur mit der 1.
  
  Jetzt können wir diese Gleichung ganz gewohnt nach y umstellen:
  I   3(1+2y) + 7y = 29     ausmultiplizieren
         3 + 6y + 7y = 29     zusammenfassen
         3 + 13y         = 29     | – 3
                 13y        = 26     | : 13
                      y         = 2
  
  Gut, damit wissen wir schon einmal, dass die zweite gesuchte Zahl die 2 ist. Wie kommen wir nun auf die erste gesuchte Zahl x? Ganz einfach, wir haben doch die Gleichung II nach x umgestellt und wissen, dass x = 1 + 2y ist. Also können wir den eben gefundenen Wert von y genau dort einsetzen:
  
  x = 1 + 2y = 1 + 2*2 = 1 + 4 = 5.
  
  Sehr gut! Wir wissen damit beide Teile der Lösung: x=5 und y=2.
   
• Wir werden jetzt die Probe machen, um zu prüfen, ob diese Zahlen wirklich Lösung des Zahlenrätsels sind. Dazu werden die Werte von x und y jeweils in die Gleichung I und in die Gleichung II, die wir ganz zu Beginn aufgestellt haben, eingesetzt:
  
  I  3*5 + 7*2 = 15 + 14 = 29 (wahre Aussage)
  II    5 – 2*2 = 5 – 4 = 1 (wahre Aussage)
  
  Die Probe führt bei beiden Gleichungen auf eine wahre Aussage, also haben wir die Lösung gefunden.
   
• Formuliere einen Antwortsatz:
  Die erste gesuchte Zahl ist die 5, die zweite gesuchte Zahl ist die 2.

Beispiel 4 (Kinokasse): Schaue Dir die folgende Abbildung an:

Versuche zunächst selbst einige Lösungsansätze.

Welche Unbekannten gibt es? Ordne den Unbekannten jeweils eine Variable zu.

In den oberen beiden Teilen der Abbildung sind Informationen versteckt, die man in Gleichungen „übersetzen“ kann. Versuche, aus diesen Informationen zwei Gleichungen aufzustellen, so dass ein Gleichungssystem entsteht.

Löse das Gleichungssystem mit einer ähnlichen Methode wie in Beispiel 3.

Die Auflösung für dieses Beispiel findet sich im Beitrag Arbeitsblatt E22 und Lösung des Kino-Beispiels (dort nach unten scrollen).